一、定义方式不同

0范数是指向量中非零元素的个数。它并不是一个范数，而是一种计数。在某些情况下，0范数可以用来表示向量的稀疏性，即向量中非零元素的数量。

1范数（也称为L1范数）是指向量中各个元素的绝对值之和。换句话说，1范数衡量了向量中各个元素对整体的贡献程度，其计算方式是将各个元素的绝对值相加。

2范数（也称为L2范数）是指向量中各个元素的平方和的平方根。2范数可以用来衡量向量的长度或者大小，其计算方式是将各个元素的平方相加，然后取平方根。

二、特性不同

0范数具有稀疏性特性，它能够用来衡量向量中非零元素的个数，从而表示向量的稀疏程度。

1范数具有稀疏性和不变性的特性。它能够使向量中的一些元素变为零，从而实现特征选择和降维，同时1范数对异常值具有一定的鲁棒性。

2范数具有平滑性和连续性的特性。它能够衡量向量的整体大小，并且在求解优化问题时具有较好的数学性质。

三、效果不同

0范数常用于稀疏信号恢复、特征选择等问题中，能够获得更加稀疏的解。

1范数常用于Lasso回归、压缩感知等问题中，能够实现特征选择和降维，同时对异常值具有鲁棒性。

2范数常用于岭回归、主成分分析等问题中，能够获得平滑的解，具有一定的抗干扰能力。

四、应用不同

0范数在图像处理、信号处理等领域中有广泛的应用，可以用来表示图像和信号的稀疏性。

1范数在机器学习、统计学习等领域中常被用于特征选择、模型稀疏化等问题。

2范数在数据挖掘、优化算法等领域中常用于求解优化问题、降维等。

0范数、1范数、2范数是数学中常用的范数概念，它们在定义方式、特性、效果和应用上都存在差异。熟练掌握它们的特点和应用场景，有助于我们在实际问题中选择合适的范数来进行处理和求解。

延伸阅读1：范数是什么意思

范数（Norm）是一个数学概念，用于衡量向量的大小或长度。在数学中，向量是由一些有序数构成的有向线段，而范数就是度量这些数的大小和相似度的方法。范数可以用于衡量向量在空间中的大小和相似度，并在许多领域中都有广泛的应用。

在向量空间中，范数通常表示为||x||，其中x是向量。范数必须满足一定的条件，包括：

非负性：对于所有向量x，范数必须大于等于0，即||x|| >= 0。齐次性：对于所有向量x和标量a，齐次性要求||ax|| = |a| ||x||。三角不等式：对于所有向量x和y，三角不等式要求||x+y|| <= ||x|| + ||y||。

根据这些条件，我们可以定义不同的范数，例如：

L1范数：也称为曼哈顿范数，表示为||x||1，是向量中所有元素的绝对值之和。L2范数：也称为欧几里得范数，表示为||x||2，是向量中所有元素的平方和的平方根。无穷范数：表示为||x||∞，是向量中元素的绝对值的最大值。

范数在机器学习和数据科学中有着广泛的应用，例如在正则化、特征选择、聚类等领域中。通过选择合适的范数，可以帮助我们更好地理解和处理向量数据。