一、求和符号的使用

Latex中求和符号是使用$\sum$表示，它用来表示一系列数值的总和。

例如，要表示1到10的整数和：

$$\sum_{i=1}^{10}i$$

其中$\sum$表示求和，下标$i=1$表示从1开始累加的变量，上标10表示到10结束。则上式的结果为：

$$1+2+3+...+10=55$$

如果是求平方和，则可以这样表示：

$$\sum_{i=1}^{10}i^2$$

则上式的结果为：

$$1^2+2^2+3^2+...+10^2=385$$

除了使用整数作为下标外，还可以使用字母作为下标:

$$\sum_{k=1}^{n}f(k)$$

其中$f(k)$表示下标为k的项。

二、多重求和符号

当需要求解多维数组的总和时，就需要使用多重求和符号$\sum\sum$，甚至还可以使用更高维度的求和符号。

例如，一个二维数组$A_{m\times n}$，它的所有元素的和可以写成：

$$\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}A_{i,j}$$

其中$i$表示行的编号，$j$表示列的编号。更高维度的求和符号也类似。

三、求和符号的属性

1、求和符号可以交换位置

对于一串求和式子，求和符号可以交换位置，例如：

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i,j}$$

上式的意思是，先按行求和再按列求和得到的结果，和先按列求和再按行求和的结果相等。

2、求和符号可以分配系数

对于一串求和式子，可以将某个常数提到求和符号外面，例如：

$$\sum_{i=1}^{n}(a_i + b_i) = \sum_{i=1}^{n}a_i + \sum_{i=1}^{n}b_i$$

上式的意思是，将$a_i$和$b_i$的和再求和，得到的结果等于先将$a_i$求和得到的结果加上$b_i$求和得到的结果。

3、求和符号可以去掉常数项

如果一串求和式子的每一项都都同加上一个常数$c$，则可以将这个常数项提到求和符号外，例如：

$$\sum_{i=1}^{n}(a_i + c) = \sum_{i=1}^{n}a_i + nc$$

上式的意思是，求和时，将$a_i$的和再加上$n$个$c$。

四、应用举例

1、利用求和符号求解逆序对问题

对于一个长度为$n$的数组$A$，逆序对指的是满足$iA_j$的二元组$(i,j)$的数量。

使用求和符号，可以较为简洁地求解逆序对问题，代码如下：

$$\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}[A_i>A_j]$$

其中$[A_i>A_j]$是一个布尔值，表示$A_i>A_j$时取值为1，否则为0。则上式的结果即为逆序对的数量。

2、离散化问题

对于一组数据，其取值分布可能较广，难以进行统计分析，甚至可能会出现“指数级图像”，无法利用数据进行计算。

离散化是一种将连续型的数据映射到有限的几个数值上的方法。其原理是先将数据排序，然后将每个数据映射到其在排好序后的顺序。

应用求和符号可以轻松地进行离散化，代码如下：

$$ans_i=\sum_{j=1}^{n}[A_j

其中$[A_j

3、利用矩阵乘法实现快速矩阵求和
对于一个矩阵$A_{m\times n}$，求解其中所有元素的和可以分别对每行求和，然后再对每行的和求和，即：
$$\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}A_{i,j}=\sum_{i=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^{n}A_{i,j}\right)$$

但是这个过程中，需要将每一行的元素相加。
可以利用矩阵乘法的思路，可以构造一个大小为$1\times n$的矩阵$B$，其中每个元素都是1，然后将矩阵$A$乘上矩阵$B$，得到的矩阵即为每行元素之和，最后将矩阵$B$的元素之和即为矩阵$A$的所有元素之和。
代码如下：
$$ans=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}A_{i,j}=\sum_{i=1}^{m}\left[\sum_{j=1}^{n}A_{i,j}\right]=\sum_{i=1}^{m}\left[\begin{matrix}1&1&\cdots&1\end{matrix}\begin{matrix}A_{i,1}\\A_{i,2}\\\vdots\\A_{i,n}\end{matrix}\right]=\begin{matrix}1&1&\cdots&1\end{matrix}A_{m\times n}$$

其中，$A_{m\times n}$与$B_{1\times n}$相乘得到的结果是一个$1\times 1$的矩阵，即$A_{m\times n}$的所有元素之和。